Tất tần tật về diện tích tam giác vuông và các công thức quan trọng không thể quên

Trong thế giới của hình học, diện tích tam giác vuông là một chủ đề giúp mang lại hiểu biết sâu sắc hơn về hình học. Từ các định lý cơ bản đến những ứng dụng phức tạp, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về những điều kỳ diệu và logic đằng sau những tam giác có góc vuông trong bài viết này. Hãy cùng học tập thôi nào!

1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có một góc vuông, tức là một góc bằng chính 90 độ. Xét một tam giác vuông ∆ABC có góc vuông ∠B như dưới đây, ta có:

Bạn đang xem: Tất tần tật về diện tích tam giác vuông và các công thức quan trọng không thể quên

• Hai cạnh AB, BC được gọi là cạnh góc vuông (hay còn được gọi là cạnh bên), thường được ký hiệu là a và b.
• Cạnh AC đối diện với góc vuông ∠B được gọi là cạnh huyền, thường được ký hiệu là c. Đây cũng luôn là cạnh dài nhất của tam giác vuông.
• Hai góc nhọn ∠A, ∠C phụ nhau (tức là tổng của 2 góc này sẽ bằng 90 độ).
• Nếu xét một cạnh góc vuông là cạnh đáy của tam giác, cạnh góc vuông còn lại có thể được xem là đường cao tương ứng của cạnh đáy ấy (thỏa theo định nghĩa đường cao tam giác).
• Định lý Pythagoras về tam giác vuông: . Định lý này được đặt theo tên của nhà triết học và toán học lừng lẫy Pythagoras của Hy Lạp Cổ đại, nói về mối liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông, và được phát biểu là “Bình phương cạnh huyền của tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại”.

2. Các công thức để tính diện tích tam giác vuông

Cách 1: Công thức cơ bản

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = ½ * c * h = ½ * 11.7 * 5.1 ≈ 30 (cm2).

Giải thích:

• Khi sao chép một hình tam giác bất kỳ, xoay hình sao chép đó 180 độ rồi ghép hai hình tam giác lại với nhau, ta sẽ có một hình bình hành với cạnh đáy và chiều cao tương ứng hoàn toàn với cạnh huyền và chiều cao tương ứng của hình tam giác vuông ban đầu. Vì diện tích hình bình hành là S = c * h, suy ra diện tích tam giác là S = (c * h) / 2.

• Công thức này vẫn thường được gọi là “Công thức diện tích cơ bản của tam giác”. Vào năm 300 trước Công nguyên, nhà toán học Euclid ở Hy Lạp cổ đại – “cha đẻ của Hình học” – đã chứng minh được điều này trong bộ sách Cơ sở (Elements) của ông.

Cách 2: Công thức Pythagoras

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = ½ * a * b = ½ * 6 * 10 = 30 (cm2).

Giải thích:

• Cũng làm thao tác ghép tam giác như trong cách 1 nhưng là với hai tam giác vuông, ta sẽ có một hình chữ nhật với chiều dài và chiều rộng chính là hai cạnh góc vuông. Vì diện tích hình chữ nhật là S = a * b, suy ra diện tích tam giác là S = (a * b) / 2.
• Tương truyền rằng Pythagoras trong lúc chờ đợi để giao những viên gạch lót vuông cho Bạo chúa Polycrates ở một cung điện tại đảo Samos, Hy Lạp cổ, đã chú ý được rằng nếu cắt đôi một miếng gạch vuông theo đường chéo, hai nửa miếng gạch sẽ là hai tam giác vuông bằng nhau với diện tích bằng một nửa diện tích miếng gạch vuông. Dù vậy, các ghi chép thực tế về kiến thức toán học từ các nền văn minh xa xưa ở Lưỡng Hà, Trung Quốc hay Ai Cập đã chứng minh được rằng Pythagoras lại không phải là người đầu tiên phát hiện ra công thức diện tích này.

Cách 3: Công thức Heron

với S là diện tích tam giác, s là một nửa chu vi tam giác (s = ( a + b + c ) / 2), và a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = sqrt(13.85 * (13.85 – 6) * (13.85 – 10) * (13.85 – 11.7)) ≈ 30 (cm2).

Giải thích:

• Xét công thức tính diện tích tam giác cơ bản với a là cạnh huyền và ha là chiều cao tương ứng, ta có: S = (a * ha) / 2. Từ đây, ta có thể suy ra rằng ha = (2 * S) / A. So sánh hai công thức này, ta có:

• Đây là một trong những cách dễ nhất để chứng minh công thức Heron – được đặt theo tên của nhà toán học, kỹ sư Hy Lạp cổ đại Hero xứ Alexandria, sống vào thế kỷ 1 sau Công nguyên. Ông được người đương thời gọi là “bách khoa toàn thư” về Toán học. Nổi bật trong số những công trình của Hero là tác phẩm Metrica (Khoảng cách) – một tập hợp các kiến thức rộng lớn về hình học và đo lường, trong đó có công thức này. Tuy vậy, người ta lại cho rằng Archimedes, nhà toán học vĩ đại nhất lịch sử, đã biết đến công thức này trước đó tận hai thế kỷ.

Cách 4: Công thức lượng giác

với ab, bc, ac là các cặp cạnh kề nhau và A, B, C là ba góc của tam giác.

Bạn không cần phải sử dụng công thức này cho góc vuông và hai cạnh góc vuông kề vì giá trị sin của một góc 90 độ là 1.

Xem thêm : Che trở hay che chở? Nhiều người lầm tưởng dùng đúng mà vô tình hóa sai

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = ½ * a * c * sin(A) = ½ * 6 * 11.7 * sin(59o) ≈ 30 (cm2).

Giải thích:

• Sử dụng định nghĩa của sin cho tam giác, ta có: sin(C) = h / b. Suy ra: h = b * sin(C). Thay thế phép tính chiều cao trên vào công thức diện tích tam giác cơ bản, ta có: S = ( a * b * sin (C) ) / 2.
• Một trong những cái tên tiên phong trong việc phát triển nghiên cứu các công thức lượng giác, trong đó có công thức tính diện tích hình học bằng lượng giác này, chính là Brahmagupta (598-668 sau Công nguyên) với tác phẩm Brahmasphutasiddhanta của ông.

Cách 5: Công thức tan góc giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền

trong đó, a và b là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông; A, C là kích thước của hai góc nhọn tương ứng với hai cạnh góc vuông.

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = ½ * a2 * tan(A) = ½ * 62 * tan(59o) ≈ 30 (cm2).

Công thức này được Pythagoras đưa ra dựa trên một trong các định lý tam giác vuông của ông: “Trong một tam giác vuông bất kỳ, mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông đó bằng … cạnh góc vuông kia của tam giác vuông nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề”.

Cách 6: Công thức bán kính đường tròn nội tiếp

trong đó, p là nửa chu vi của tam giác vuông, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông ấy.

Ví dụ: Vẽ đường tròn nội tiếp cho tam giác mẫu ABC:

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = (P * r) / 2 = ((6 + 10 + 11.7) * 2.2) / 2 ≈ 30 (cm2).

Công thức này còn được gọi là “công thức Brahmagupta,” cũng đã xuất hiện trong quyển Brahmasphutasiddhanta.

Cách 7: Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp

trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông; a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác vuông ấy.

Ví dụ: Vẽ đường tròn ngoại tiếp cho tam giác mẫu ABC:

Áp dụng vào tam giác ví dụ, ta có: S = (a * b * c) / (4 * R) = (6 * 10 * 11.7) / (4 * 5.85) = 702 / 23.4 = 30 (cm2).

Công thức này thực chất là một ứng dụng của Định lý Ptolemy: “Trong một tứ giác ngoại tiếp, tích của độ dài hai đường chéo bằng tổng của tích của hai cạnh đối diện”, nhưng được áp dụng cho tam giác ngoại tiếp. Định lý này do nhà bác học Claudius Ptolemy (100 - 170 sau Công nguyên) của Hy Lạp cổ đại tìm ra.

Xem thêm : 1 lít bằng bao nhiêu kg? Bảng quy đổi công thức chính xác nhất

Ngoài ra, còn một cách nữa để áp dụng bán kính đường tròn ngoại tiếp vào việc tính diện tích tam giác vuông:

trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông; A, B là 2 góc nhọn của tam giác vuông ấy.

Công thức này là một biến thể trong việc áp dụng định luật sin trong tam giác có 3 góc A, B, C, nhưng đã được rút gọn bớt góc vuông C vì sin của một góc 90 độ thì bằng 1. Công thức gốc với đầy đủ 3 góc cũng được biểu đạt chi tiết lần đầu trong quyển Brahmasphutasiddhanta.

Công thức cho tam giác vuông cân

với a là độ dài cạnh góc vuông.

Ví dụ: Cho tam giác vuông cân ABC như sau:

Với tam giác vuông cân ABC như hình trên, ta có a = 3 cm. Áp dụng công thức, ta có:

S = ½ * a2 = ½ * 32 = 4.5 (cm2).

Trong tam giác vuông đều, hai cạnh góc vuông có độ dài bằng nhau. Áp dụng điều này vào công thức diện tích Pythagoras, ta sẽ có công thức trên.

Bộ Sưu Tập Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Phẳng

Ngoài ra, vào năm 1885, tác giả Marcus Baker của tạp chí học thuật Annals of Mathematics (Biên niên sử Toán học) đã viết một bài nghiên cứu học thuật với tựa đề A Collection of Formulae for the Area of a Plane Triangle (Bộ Sưu Tập Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Phẳng). Gói gọn trong bài viết này là hơn 100 cách khác nhau để tìm ra diện tích của một tam giác trong một mặt phẳng, và bạn có thể bấm vào đây để đọc qua bài viết chỉ dài 8 trang nhưng chứa đựng hàng ngàn năm lịch sử này.

Tổng kết

Vậy là bài giảng ngày hôm nay về mọi điều liên quan đến cách tính diện tích tam giác vuông đã đến hồi kết rồi. Mong rằng các bạn đều đã có thêm cho mình những kiến thức bổ ích và cần thiết trong công cuộc chinh phục bộ môn Hình học của mình. Lớp học giải tán!

Xem thêm

• 10 ứng dụng Toán học tốt nhất dành cho smartphone

• 5 phần mềm vẽ hình toán học tốt nhất 2022

Đối với các bạn học sinh đang ngày đêm miệt mài với những công thức Toán học, việc trang bị cho mình một chiếc máy tính khoa học bỏ túi đẳng cấp là cực kỳ thiết yếu. FPT Shop hiện đang bày bán Máy tính khoa học HS/SV Flexio FX590VN với những tính năng ưu việt nhất cho việc học tập cùng với những mẫu máy tính cầm tay khác của Flexio nữa đó, bạn hãy xem qua nhé.

• Phụ kiện máy tính

Nguồn: https://duhochanquocchd.edu.vn
Danh mục: Khám Phá